練功：若A ≦ B 且 A ≧ B 則 A ＝ B

2008/05/17 17:38

練功：若A ≦ B 且 A ≧ B 則 A ＝ B

呆傑今天問了一個問題：

設四邊形 ABCD 之邊長分別為 a、b、c、d，若

a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ = 4abcd，log(sinA) + log(sinB) + log(sinC) + log(sinD) = 0，

試證四邊形 ABCD 為一正方形。



我們會先想從第二個條件式著手；因為第一個條件式看起來，硬硬的，較不易處理的感覺。



( 1 ) ∵0 ＜ A ≦ π，0 ＜ B ≦ π，0 ＜ C ≦ π，0 ＜ D ≦ π

    ∴0 ＜ sinA ≦ 1，0 ＜ sinB ≦ 1，0 ＜ sinC ≦ 1，0 ＜ sinD ≦ 1

當 A = π / 2 時，sinA = 1；當 B = π / 2 時，sinB = 1；當 C = π / 2 時，sinC = 1；當 D = π / 2 時，sinD = 1。

log(sinAsinBsinCsinD) = 0 = log 1 => sinAsinBsinCsinD = 1 => A = B = C = D = π / 2



我們已證明四個角都是直角；接下來，必須證明四邊相等。

只有一個條件式要證明兩個或兩個以上的等式，有一個常用的證法：

A ² + B ² = 0 => A = B = 0；A ² + B ² + C ² = 0 => A = B = C = 0；………

面對 a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ = 4abcd，左式為四次式，要如何將其處理成平方和？又該呈何型式，方可達到 a = b = c = d 的目標？

第一，平方的平方是四次方，先將 a⁴ + b⁴ 配上 2a²b²、 c⁴ + d⁴ 配上 2c²d²，這樣就可配成完全平方、平方和；

　　　而且，必須用減的，才可以朝著 a² - b² = 0 => a = b 的目標。



 ( 2 ) ( a⁴ - 2a²b² + b⁴ ) + ( c⁴ - 2c²d² + d⁴ ) = - 2 ( a²b² - 2abcd + c²d² )

    => ( a² - b² ) ² + ( c² - d² ) ² = - 2 ( ab - cd ) ² ≦ 0

     但 ( a² - b² ) ² + ( c² - d² ) ² ≧ 0

 故 ( a² - b² ) ² + ( c² - d² ) ²  = 0

得 a = b 且 c = d

   同 理可證 b = c 且 a = d

得證 a = b = c = d ，即四邊相等

綜合 ( 1 )、( 2 ) 得證此四邊形為一正方形。




假如你對這個觀念，不是很＂熟識＂，請再看一遍－－

A ² + B ² = 0 => A = B = 0；A ² + B ² + C ² = 0 => A = B = C = 0；………

若A ≦ B 且 A ≧ B 則 A ＝ B

你是否已將它們放進大腦裡？

閉上眼，找看看。




請再回頭把題解在大腦＂流通＂一遍；不是背解答喔，是理解與概念的建構。

希望這一頁，在你數學的學習上，能提供些許的幫忙。