練功：建橋

<h3>練功：建橋</h3>

學生問了一個問題：

設 a,b,c,d 均為異於 0 的實數。已知 a、b 為 x²+cx+d=0 之二根；c、d 為 x²+ax+b=0 之二根。試求 a-b+c-d 之值。

關於一元二次方程式的破題，常用的相關性質、途徑有六：

一、轉向一元二次函數的幾何解

二、因式分解

三、配方法

四、根與係數的關係

五、將根代入原方程式－－若 a、b 為 x²+cx+d=0 之二根，則 a²+ca+d=0 且 b²+cb+d=0

六、方程式的求根與多項式的因式分解，是一體的兩面－－若 a、b 為 x²+cx+d=0 之二根，則 x²+cx+d=(x-a)(x-b)

本題完全與第一、第二、第三無關；第六適用於相乘，而本題欲求 a-b+c-d 之值乃相加，亦不宜；朝四、五兩項思索與分析。

由四來破：     由五來破：   

(a+b=-c，ab=d) and (c+d=-a，cd=b)     ( a²+ca+d=0，b²+cb+d=0) and (c²+ac+b=0，d²+ad+b=0)

乍看，會先考慮由五來破題 。

a²-b²+c(a-b)=0 and c²-d²+a(c-d)=0

可是，雖然有 a-b 與 c-d，但是分處兩邊，沒有辦法＂建橋＂，把它們逗起來，入不了題，跳走。

五入不了題，千萬不要在裏頭團團轉，馬上回頭看四。

雖然四無法直接以利劍立即見著 a-b 與 c-d，但是找得到橋－－ d-(-c)=c+d。

那就使鈍劍囉。

ab-(a+b)=d-(-c)＝c+d=-a 

將左右兩邊的 -a 消去。

因為 b 異於0，所以a=1；同理可得，c=1。

將 a=c=1 分別代回破題的式子，得 b=d=-2。



並非此題超好、超難而談它

其實，只是想藉題發揮

希望閣下能更具體領會＂思索、分析＂

或許，能夠在閣下的內功的修行上

添一分助力



附：請下看＂皓呆＂留言，實在有夠讚！務必要多欣賞幾眼，Why？