練功：指數、對數僅一線之隔

<h3>練功：指數、對數僅一線之隔</h3>

Ｑ：設ｘ、ｙ、ｚ均為正數，若 2 ^x = 3 ^y = 5 ^z，則 2ｘ、3ｙ、5ｚ的大小關係為何？


在正式談論今天的主題之前，我要先藉題發揮－－

前次談的：指數不外乎一底一指，不是從底數破題，就是從指數破題。

2 ^x 、3 ^y 、5 ^z  的底數不同，須取相同的底數，方可比大小，故先令此三數等於ｔ。

得 2 = ｔ^1/x、3 = ｔ^1/y、5 = ｔ^1/z。

題目要比的是 2ｘ、3ｙ、5ｚ的大小，那下一步該如何進行、處理？

你應該朝 2ｘ、3ｙ、5ｚ的方向思索、分析，這跟＂你要把一個蘋果分給兩個人吃，你該怎麼辦＂ㄧ樣簡單。

想到沒：2 = ｔ^1/x、3 = ｔ^1/y、5 = ｔ^1/z => 2 ^1/2 = ｔ^1/2x、3 ^1/3 = ｔ^1/3y、5 ^1/5 = ｔ^1/5z。

就是要 2ｘ、3ｙ、5ｚ，所以你必須處理成上列的式子，方可由底數相同，且ｔ>1（因為ｘ>0），來比 2ｘ、3ｙ、5ｚ的大小。

再由（2³ ）^1/6 ＜（3² ）^1/6、（2⁵ ）^1/10 ＞（5² ）^1/10 => ｔ^1/3y ＞ｔ^1/2x  ＞ｔ^1/5z  => 1/3ｙ＞ 1/2ｘ＞ 1/5ｚ=> 3ｙ＜ 2ｘ＜ 5ｚ。


談正題，假如你具＜指數、對數僅一線－ ｘ=ｙ、ｙ=ｘ－之隔＞的概念，你可以將指數轉換成對數來破題。

     5ｔ   2ｔ   ｔ(5 log 2 － 2 log 5 )
ｔ=ｘlog 2 =ｙlog 3 =ｚlog 5 ＞ 0 => 5ｚ － 2ｘ ＝  －－－  －  －－－  ＝ －－－－－－－－－－   ＞ 0 =>  5ｚ＞ 2ｘ；
   log 5　　 log 2    log 5 log 2

同理可得 2ｘ＞ 3ｙ，故 3ｙ＜ 2ｘ＜ 5ｚ。



我們再以一個證明題來強化＂可將指數轉換成對數來破題＂這一概念。


Ｑ：已知ａ、ｂ、ｃ、ｄ均為實數，且 2 ^a 5 ^b = 2 ^c 5 ^d = 10，試證(ａ- 1 ) (ｄ- 1 ) = (ｂ- 1 ) (ｃ- 1 )。

Pf.  (1)  log 2 ^a 5 ^b = log 10 => ａlog 2 + ｂlog 5 = log 2 + log 5 => (a - 1 ) log 2 = - (ｂ- 1 ) log 5；

  log 2 ^c 5 ^d = log 10 => ｃlog 2 + ｄlog 5 = log 2 + log 5 => (ｃ- 1 ) log 2 = - (ｄ- 1 ) log 5。

  (2)  ｃ= 1 時 => ｄ= 1。此時，(ａ- 1) (ｄ- 1 ) = 0，(ｂ- 1 ) (ｃ- 1 ) = 0 => (ａ- 1 ) (ｄ- 1 ) = (ｂ- 1 ) (ｃ- 1 )。

  ａ- 1    ｂ- 1
  (3)  (ｃ- 1 ) (ｄ- 1 ) 異於 0 時， －－－  ＝ －－－  =>  (ａ- 1 ) (ｄ- 1 ) = (ｂ- 1 ) (ｃ- 1 )。
  ｃ- 1    ｄ- 1

至此，你除了再一次熟識、強化＂將指數轉換成對數來破題＂這一概念之外，

你必須謹記、留意：在＂同除＂之前，我們得先將等於 0 的情況交代清楚。


希望這篇練功，能給你一些幫助。