練功：幾種破題的看法

<h3>練功：幾種破題的看法</h3>

前次，我們曾聊到 求最大值、最小值，常用的相關性質：

一、算幾不等式

二、柯（歌）西不等式

三、一元二次函數與一元二次方程式

四、指數、對數

五、三角函數

六、幾何（含各類圖形之定義，以及其相關的定理、推廣與性質）

七、常被遺忘的連線段最短、垂線段最短、三角形兩邊之和大於第三邊、三角形兩邊之差小於第三邊

今天，我們以一些實例來更明確認知這串觀念。 


Ｑ：設ｘ、ｙ均為正實數，若ｘ² + ｙ² = 2，求ｘｙ之最大值。

　　已知條件是相加，求相乘之最大值；或者是，已知條件是相乘，求相加之最小值。

　　建議你：優先考慮以算幾不等式破題。

　　ｘ² + ｙ² > 或 = 2ｘｙ=> ｘｙ之最大值為 1。

　　當然，你也可以其他的解法來破題。如

　　以柯西不等式 ：(ｘ² + ｙ² ) (ｙ² + ｘ² )  > 或 = ( ｘｙ+ｙｘ) ² 來破題；

　　或以三角函數：ｘ= 2 ^1/2 cos A、ｙ= 2 ^1/2 sin A => ｘｙ= 2 cos A sin A = sin 2 A 來解題；

　　甚至於，令ｘｙ=ｔ，以代入消去及一元二次方程式的實根判別式來解題。

　　但都沒有以算幾不等式破題來得便利。

　　最後，我們以幾和解來＂看＂這個試題－－

　　ｘｙ=ｋ是以Ｘ軸、Ｙ軸為漸近線的等軸雙曲線；ｘ² + ｙ² = 2 是以原點為圓心、半徑為根號 2 之圓。

　　因為ｘ、ｙ均為正實數，所以當雙曲線與圓切於 ( 1 , 1 )、( - 1 , - 1 ) 時，ｘｙ產生最大值 1。

　　ps. ( 1 , 1 )、( - 1 , - 1 ) 為貫軸之兩端點。


Ｑ：設ｘ、ｙ均為實數，若ｘ² + ｙ² = 4，求 3ｘ+ 4ｙ之最大值、最小值。

　　已知條件是 N 元平方和之值，求 N 元一次代數式之最大值、最小值；或者是，已知條件是  N 元一次方程式，求 N 元平方和之最大值、最小值。

　　解題最佳捷徑是柯西不等式 ：(ｘ² + ｙ² ) ( 3 ² + 4 ² )  > 或 = ( 3ｘ+ 4ｙ) ²；

　　當然，你也可以其他的解法來解題。如

　　令 3ｘ+ 4ｙ=ｔ，以代入消去及一元二次方程式的實根判別式來解題；
　　
　　或以三角函數：ｘ= 2 cos A、ｙ= 2 sin A => 3ｘ+ 4 ｙ= 5 ( cos A cos B + sin A sin B ) = 5 cos ( A - B ) 來解題；

　　還有，取Ｌ： 3ｘ+ 4ｙ=ｋ、Ｃ：ｘ² + ｙ² = 4，Ｌ與Ｃ相切時，ｋ產生最大值、最小值，再以圓心到切線的距離等於 2，來求最大值、最小值。

　　但都沒有以柯西不等式破題來得利落。



Ｑ：設ｘ、ｙ均為實數，若ｘ² + ｙ² = 1，求 (ｘ- 3 ) ² + (ｙ- 4 ) ² 之最大值、最小值。

　　你必須先識破：｛(ｘ- 3 ) ² + (ｙ- 4 ) ² ｝^1/2 乃圓Ｃ：ｘ² + ｙ² = 1 上之動點Ｐ(ｘ,ｙ) 與 ( 3 , 4 ) 的距離。

　　其中，圓心與 ( 3 , 4 ) 的距離加半徑，最大；圓心與 ( 3 , 4 ) 的距離減半徑，最小。

　　寫答案時，請記得平方。

　　
Ｑ：設ｘ、ｙ均為實數，若ｘ² + ｙ² = 1，求 (ｙ- 3 ) ／ (ｘ- 2 ) 之極大值、極小值。

　　幾和解－－

　　你必須先識破：(ｙ- 3 ) ／ (ｘ- 2 ) 乃圓Ｃ：ｘ² + ｙ² = 1 上之動點Ｐ(ｘ,ｙ) 與 ( 2 , 3 ) 的連線之斜率。

　　當連線與Ｃ相切時，斜率產生極值，再以圓心到切線的距離等於 1，來求極大值、極小值。

　　代數解－－

　　令ｙ- 3 = m (ｘ- 2 )，以ｙ= m (ｘ- 2 ) + 3  代入ｘ² + ｙ² = 1，得ｘ的一元二次方程式；再以一元二次方程式的實根判別式來解題。

　　三角函數解－－

　　令ｘ= cos 2 A、ｙ= sin 2 A、ｔ= tan A，以ｘ= ( 1 -ｔ² ) ／ ( 1 +ｔ² )、ｙ= 2ｔ ／ ( 1 +ｔ² ) 代入 (ｙ- 3 ) ／ (ｘ- 2 ) ，

　　得 ( 3ｔ² - 2ｔ+ 3 ) ／ ( 3ｔ² + 1 )，再令此式等於ｋ，得ｔ的一元二次方程式；再以一元二次方程式的實根判別式來解題。



Ｑ：設ｘ、ｙ均為實數，若ｘ² + ｙ² = 4，求 2ｘ +ｙ² 之最大值、最小值。

　　代數解－－

　　以ｙ² = 4 - ｘ² 代入 2 ｘ+ ｙ²，得 2 ｘ+ 4 - ｘ² = - (ｘ- 1 ) ² + 5。

　　小心！ｘ有隱性條件；ｘ² = 4 - ｙ²  => ｘ之最大值為 2、最小值為 - 2。

　　故，當ｘ= 1 時，2ｘ +ｙ² 有最大值 5；當ｘ= - 2 時，2ｘ +ｙ² 有最小值 - 4。


　　三角函數解－－

　　令ｘ= 2 cos A、ｙ= 2 sin A，則 2ｘ +ｙ² = 4 cos A + 4 sin² A = 4 cos A + 4 ( 1 - cos² A ) = - 4 cos² A + 4 cos A + 4。

　　當 cos A = 1 / 2 時，- 4 cos² A + 4 cos A + 4 有最大值 5；當 cos A = - 1 時，- 4 cos² A + 4 cos A + 4 有最小值 - 4。


部落格在陳述算式上，受到許多的限制；綁手綁腳的，無法盡情發揮，老人家，困在籠子裡，只能盡力而為。

希望上面這一串，在籠子裡的，提點，能給你，在最大值與最小值之觀念的釐清以及概念的建構上，提供些許之幫助。


倘若你猶蟄冬眠，願初春的暖陽，伸展你的懶腰，引你與大地、萬物相偕，共同迎接生命的新契機。