練功：代數解或幾何解的拿捏

練功：代數解或幾何解的拿捏

一位高二的數學資優生－笑仔－問了一個問題：

設ｔ是實數，試求 { ( t ² - 1 ) ² + 4 t ² } ^1/2 + { ( t ² - 2 ) ² + ( 2 t - 2 ) ² } ^1/2 之最小值。


求最大值、最小值，常用的相關性質：

一、算幾不等式

二、柯（歌）西不等式

三、一元二次函數與一元二次方程式

四、指數、對數

五、三角函數

六、幾何（含各類圖形之定義，以及其相關的定理、推廣與性質）

七、常被遺忘的連線段最短、垂線段最短、三角形兩邊之和大於第三邊、三角形兩邊之差小於第三邊


此題，代數味十足，但倘若你依上述性質一一審視，也就是思索、分析，你找不到代數解的破題點。

這時，你就得轉向幾何解作思考。

你不難發現：兩點間的距離。

你找到破題點了－－

求 ( t ² , 2 t ) 與 ( 1 , 0 )、( 2 , 2 ) 距離之和 的最小值  。

接下來，你思索、分析的焦點應該聚在 ( t ² , 2 t  ) 上；這個動點：( ｘ=ｔ^2 , ｙ= 2ｔ) 為拋物線 ｙ² = 4ｘ上之動點。

請你進一步分析、思索：拋物線 ｙ² = 4ｘ上，哪一點與 ( 1 , 0 )、( 2 , 2 ) 距離之和 的值最小？

從何想起？

當然是從＂定義＂開始；定義，是＂首要＂性質，但你卻常遺忘它。

只要你把定義：＂到焦點與到準線等距＂請出來，你就可以輕鬆入題了－－

( 1 , 0 ) 為拋物線之焦點；過 ( 2 , 2 ) 作準線：ｘ= - 1 之垂線段，此垂線段之長 3 即為所求。

產生此最小值之點的座標為 ( 1 , 2 )。


最後，再一次提醒你：解題時，代數解、幾何解必須交互思考；

必要時，還可請三角函數來幫忙，免客氣，只要你跟它夠＂熟＂，幫得上忙的，它一定不會推辭。