練功：洞悉－－n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )

練功：洞悉－－n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )

有個考題：已知 X ² + p X + q = 0 之二根均為正整數，試問 q ( p - q - 1 ) ( 2 p - 4 q - 1 ) 必為下列何數之倍數？

　　　　　( A ) 18 　( B ) 24 　( C ) 32 　( D ) 36 　( E ) 48 


你除了想到以＂根與係數的關係＂來破題之外 ，還會有其他方想法嗎？

應該沒有；那就以此來破題了。

設兩根為 a、b，則 a + b = - p 且 a b = q。

q ( p - q - 1 ) ( 2 p - 4 q - 1 ) = a b ( a b + a + b + 1 ) ( 4 a b + 2 a + 2 b + 1 )

　　　　　　　　　　　　 = a b ( a + 1 ) ( b + 1 ) ( 2 a + 1 ) ( 2 b + 1 )



至此，你要如何入題？



你可有＂洞悉＂到－－

因為從 1 到 a 的所有正整數的平方和為 a ( a + 1 ) ( 2 a + 1 ) 除以 6；

從 1 到 b 的所有正整數的平方和為 b ( b + 1 ) ( 2 b + 1 ) 除以 6。

所以 q ( p - q - 1 ) ( 2 p - 4 q - 1 ) 必為 36 之倍數。



這是笑仔－劉恆孝－的解法；我們還有其他的解法，但都比他遜多了。

讓我們給他拍拍手－－鼓鼓掌。

笑仔，水喔！

不，應該是超水的！